Multiplikative Gerben und Liegruppen

Multiplikative Gerben sind höher-kategorielle geometrische Strukturen über Liegruppen, die mit der Gruppenstruktur verträglich sind. Sie entsprechen höher-kategoriellen Verallgemeinerungen von Lie-Gruppen-Erweiterungen, und realisieren in geometrischer Art und Weise die Kohomologie der klassifizierenden Räume von Lie-Gruppen im Grad 3.

Multiplikative Gerben stehen in engem Kontakt zur klassischen Theorie von Lie-Gruppen und Lie-Algebren. Über kompakten, einfachen Lie-Gruppen kann man alle multiplikativen Gerben, deren Struktur-2-Gruppe BU(1) ist, explizit aus Lie-algebraischen Daten konstruieren.

In meiner Arbeit entwickle ich eine Theorie von Zusammenhängen auf multiplikativen Gerben, und verfolge im wesentlichen zwei Anwendungen. In der ersten Anwendung geht es um Chern-Simons-Theorien, das sind 3-dimensionale topologische Feldtheorien, die eine große Bedeutung in Mathematik und Physik haben. Multiplikative Gerben helfen dabei, Chern-Simons-Theorien mit sehr allgemeinen Eichgruppen, insbsondere nicht-einfach zusammenhängenden Liegruppen zu verstehen. In diesem Kontext verallgemeinert die Gerbe das sogenannte "Level" der Chern-Simons-Theorie. Eine bedeutende offene Frage ist zum Beispiel, wie Chern-Simons-Theorie im Rahmen sogenannter funktorieller Feldtheorien betrachtet werden muss. Ich untersuche dabei Möglichkeiten, eine solche Beschreibung durch multiplikative Gerben herbeizuführen.

In der zweiten Anwendung geht es um Transgression auf die Schleifengruppe der zugrundeliegenden Liegruppe. Aus einer multiplikativen Gerbe mit Zusammenhang und abelscher Struktur-2-Gruppe wird unter Transgression eine zentrale Erweiterung der Schleifengruppe. Solche zentralen Erweiterungen, und insbesondere ihre Darstellungstheorie, werden seit vielen Jahren intensiv studiert. Multiplikative Gerben bieten einen endlich-dimensionalen, höher-kategoriellen Zugang als alternative zur klassischen, unendlich-dimensionalen Theorie.

Untenstehend sind einige Artikel und Vortragsmanuskripte aus diesem Themengebiet aufgeführt.

Artikel zu diesem Thema

  • Transgressive loop group extensions
    Math. Z. 286(1) 325-360, 2017
    arxiv:1502.05089  
  • A Construction of String 2-Group Models using a Transgression-Regression Technique
    Analysis, Geometry and Quantum Field Theory, edited by C. L. Aldana, M. Braverman, B. Iochum, and C. Neira-Jiménez, volume 584 of Contemp. Math., pages 99-115, AMS, 2012
    arxiv:1201.5052  
  • Lifting Problems and Transgression for Non-Abelian Gerbes
    mit Thomas Nikolaus
    Adv. Math. 242 (2013) 50-79
    arxiv:1112.4702  
  • Polyakov-Wiegmann Formula and Multiplicative Gerbes
    mit Krzysztof Gawedzki
    J. High Energy Phys. 09 (2009) 073
    arxiv:0908.1130  
  • Multiplicative Bundle Gerbes with Connection
    Differential Geom. Appl. 28(3), 313-340 (2010)
    arxiv:0804.4835  

Vorträge zu diesem Thema

  • Multiplicative Gerbes and Chern-Simons Theory
    Oberseminar "Topologie", Universität Bonn, Oktober 2009
    Skript  
  • Lectures on gerbes, loop spaces, and Chern-Simons theory
    Workshop "Chern-Simons Theory: Geometry, Topology and Physics", University of Pittsburgh, Mai 2013
    Skript  
  • Transgressive central extensions of loop groups
    Konferenz "Colloquium on Algebras and Representations - Quantum 2016", Universidad Nacional de Córdoba, März 2016
    Skript