String-Geometrie ist ein relatives neues Forschungsgebiet, das Algebraische Topologie, Differentialgeometrie und Homotopietheorie verbindet. Sie stellt eine wichtige mathematische Grundlage für die Beschreibung von Supersymmetrie in zwei-dimensionalen Feldtheorien dar; unter diesem Gesichtspunkt verhält sich String-Geometrie zur String-Theorie so wie Spin-Geometrie zur Quantenmechanik.
Es gibt im wesentlichen zwei Herangehensweisen zur String-Geometrie: unendlich-dimensionale Analysis auf dem Konfigurationsraum der Strings, oder höher-kategorielle Analysis auf dem Target-Raum der Strings. Der Konfigurationsraum ist der Schleifenraum des Targetraums, und die beiden Herangehensweisen sollten durch einen Transgressionsprozess in Verbindung stehen.
Unendlich-dimensionale Analysis auf dem Schleifenraum führt zu den seit langer Zeit offenen Fragen, wie man einen Dirac-Operator auf Schleifenräumen definieren kann, und auf welcher Art von Darstellungen dieser operieren könnte. In meiner Arbeit versuche ich, diese Fragen durch höher-kategorielle Geometrie auf dem Targetraum unter Transgression zu verstehen.
Untenstehend sind einige Artikel und Vortragsmanuskripte aus diesem Themengebiet aufgeführt.
Artikel zu diesem Thema
- Lie 2-groups from loop group extensions
arxiv:2303.13176 - A representation of the string 2-group
arxiv:2206.09797 - Connes fusion of spinors on loop space
arxiv:2012.08142 - Smooth Fock bundles, and spinor bundles on loop space
mit Peter Kristel
erscheint in J. Diff. Geom.
arxiv:2009.00333 - Fusion of implementers for spinors on the circle
mit Peter Kristel
Adv. Math. Vol. 402 (2022), 108325
arxiv:1905.00222 - String geometry vs. spin geometry on loop spaces
J. Geom. Phys. 97 (2015), 190-226
arxiv:1403.5656 - Spin structures on loop spaces that characterize string manifolds
Algebr. Geom. Topol. 16 (2016) 675–709
arxiv:1209.1731 - A Construction of String 2-Group Models using a Transgression-Regression Technique
Analysis, Geometry and Quantum Field Theory, edited by C. L. Aldana, M. Braverman, B. Iochum, and C. Neira-Jiménez, volume 584 of Contemp. Math., pages 99-115, AMS, 2012
arxiv:1201.5052 - Lifting Problems and Transgression for Non-Abelian Gerbes
mit Thomas Nikolaus
Adv. Math. 242 (2013) 50-79
arxiv:1112.4702 - String Connections and Chern-Simons Theory
Trans. Amer. Math. Soc. 365 (2013), 4393-4432
arxiv:0906.0117
Vorträge zu diesem Thema
- String Connections and Chern-Simons 2-Gerbes
Workshop "Strings, Fields and Topology", Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Juni 2009
Skript - String Connections and Supersymmetric Sigma Models
Workshop "Homotopy theory and higher algebraic structures", University of California at Riverside, November 2009
Skript - Lectures on gerbes, loop spaces, and Chern-Simons theory
Workshop "Chern-Simons Theory: Geometry, Topology and Physics", University of Pittsburgh, Mai 2013
Skript - String structures and supersymmetric sigma models
Programm "Higher structures in string theory and quantum field theory", Erwin-Schrödinger-Institut für Mathematische Physik, Dezember 2015
Skript - String geometry and spin geometry on loop spaces
Parallelsession "Mathematical aspects of string theory and string geometry", Friedrich-Schiller-Universität Jena, Juli 2016
Skript - String connections and loop spaces
Workshop "Loop spaces, supersymmetry and index theory", Nankai University at Tianjin, Juli 2017
Präsentation - Fusion in loop spaces
Workshop "Geometric Quantization", Banff International Research Station for Mathematical Innovation and Discovery, April 2018
Video - Functorial Field Theories and Spin Geometry
Mathematics Colloquium Series, New York University Abu Dhabi, November 2019
Skript - 2-vector bundles, with applications to twisted K-theory and spin geometry
Programm "Higher Structures and Field Theory", Erwin-Schrödinger-Institut für Mathematische Physik, August 2020
Skript - String geometry
Oberseminar "Renormalisation and Geometry", Universität Potsdam, Juni 2021
Video - A representation of the string 2-group
TQFT Club Seminar, online, November 2022
Video - The stringor bundle
Workshop "Geometric/Topological Quantum Field Theories and Cobordisms", New York University Abu Dhabi, März 2023
Präsentation